Makalah Ilmiah

                                                         Himpunan(Set)

               Nama Mahasiwa: Munawan Lewenussa, Dosen Pembimbing: Haris k.

                             Program Studi Pendidikan Matematika Unidar Ambon
                                                Kampus ”C” Masohi

                               Jln. Raya Trans Seram Masohi INDONESIA

                                         Institusi non FKIP Unidar Ambon
                                                  Alamat termasuk nama negara

                                        e-mail:lewnusa@student.unidar.ac.id,  munawan@student.unidar.ac.id 

Abstrak

Ilmu studi matematika himpunan adalah kumpulan dari sesuatu atau elemen yang mana elemen satu dengan yang lainnya saling berbeda yang didefenisikan secara jelas, yang mana dalam kehidupan yang nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu.

Himpunan biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari- hari. Dalam kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam himpunan mahasiswa ilmu pendidikan dan keguruan Universitas Darussalam Ambon, kumpulan hewan berkaki dua, koleksi perangko, kelompok belajar, gugus depan dalam pramuka  dan kata jenis lainya. Kata himpunan kata kumpulan, koleksi,kelompok dalam kehidupan sehari-hari memiliki arti yang sama.

Peneliti mengangkat topik urgensi dan peranan matemetika  himpunan dalam kehidupan sehari-hari karena  setelah melalui metode penelitian berupa survey dan observasi ternyata matematika himpunan sangat berfungsi dalam kehidupan kita baik yang paling mudah maupun sampai yang tersulit sekalipun.

Dengan mempelajari matematika himpunan tidaklah sia-sia karena dapat dijadikan sebagai media untuk melatih berpikir kritis,inovatif, kreatif, dan mandiri serta mampu menyelesaikan masalah. Oleh karena itu matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu hukum tetap saja ada pelajaran matematika didalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalalm kehidupan sehari-hari.

Kata kunci: Pentingnya memahami matematika himpunan,matematika himpunan bermanfaat dalam membantu berpikir secara logika,matematika himpunan sebagai pedoman  dan berperan penting sebagai media pembentuk integritas seseorang.

bab i pendahuluan

A.     Latar Belakang

Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu. Dengan buku paket dan LKS yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar/siswa merasa bosan untuk belajar matematika. Sering kali mereka bertanya’’ apasih manfaat belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari ? apa manfaat aljabar ? apa manfaat himpunan? Apa manfaat  trigonometri?

Pertanyaan-pertanyaan seperti itu sudah sering mereka lontarkan kepada guru-guru pembimbing mereka. Pertanyaann itu mereka lontarkan karena mereka sudah kesal terhadap pelajaran mereka yang terasa membosankan dan tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika sangat berfungsi dalam kehidupan sehari-hari, baik yang paling muda sampai yang tersulit sekalipun.

Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri, dan mampu menyelesaikan masalah. Sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu hukum tetap saja ada pelajaran matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika di gunakan dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari[1].

B.    Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut rumusan masalah dapat di angkat antara lain sebagai berikut :

1.          Bagaimana manfaat belajar himpunan dalam kehidupan sehari-hari?

2.       Bagaimana definisi dan keanggotaan suatu himpunan?

3.       Bagaimana membedakan jenis jenis himpunan?

4.       Bagaimana operasi pada himpunan?

5.       Bagaimana prinsip dualitas pada himpunan?

6.          Bagaimana membedakan multi Set dan fuzzy Set pada himpunan?

7.       Bagaimana Representasi Biner pada himpunan?

8.       Bagaimana Teori pada Himpunan?

9.          Bagaimana menyelesaikan  masalah dengan konsep himpunan  dalam kehidupan sehari-sehari?

C.    Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah ilmia ini adalah sebagai berikut :

1. Untuk mengetahui manfaat belajar himpunani dalam kehidupan sehari-hari

2. Untuk mengetahui definisi dan keanggotaan suatu himpunan

3.     Untuk mengetahui  jenis jenis himpunan.

4.     Untuk mengetahui operasi pada himpunan.

5.     Untuk mengetahui  prinsip dualitas pada himpunan.

6.     Utuk dapat membedakan Multi Set dan Fuzzy Set pada himpunan.

7.     Untuk mengetahui Representasi Biner pada himpunan.

8.     Untuk mengetahui Teori pada Himpunan.

9.          Untuk dapat  menyelesaikan  masalah dengan konsep himpunan  dalam kehidupan sehari-sehari.

bab ii pembahasan

Dalam kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data (objek) inilah yang selanjutnya didefinisikan sebagai himpunan. Pada makalah ilmiah ini akan dibahas tentang manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, definisi dan keanggotaan suatu himpunan, jenis- jenis himpunan, operasi himpunan, multi set dan fuzzy Set pada himpunan,biner pada himpunan, teori pada himpunan, menyelesaikan masalah dengan konsep himpunan  dalam kehidupan sehari-sehari.[1]

A.    Manfaat Belajar  himpunan Dalam Kehidupan Sehari-hari.

Membahas mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, mengingatkan kita yang mungikn sebagai guru atau orang tua saat ada pertanyaan yang terlontar dari anak dengan wajah polosnya “ apa manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari? Mereka belum tahu betapa pentingnya himpunan  yang merupakan dasar dari segala ilmu matematika.[1]

Dengan mempelajari himpunan, kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, dalam kehidupan sehari-hari, logika memiliki peran penting  karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1.          Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus,tetap,tertib, melodis dan koheren.[1]

2.          Meningkatkan kemampuan berpikir secara abastrak, cermat,dan objektif.[1]

3.          Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemepuan berpikir secara tajam dan mandiri.[1]

4.          Memeaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.[1]

5.          Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.[1]

6.          Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.[1]

B.    Definisi dan Keanggotaan Suatu Himpunan.

  Himpunan (set) merupakan sekumpulan   objek-objek yang berbeda yang dapat didefinisikan dengan jelas. Objek di dalam himpunan dinamakan unsur atau anggota himpunan. Keanggotaan suatu himpunan dinyatakan oleh notasi ’∈’.[2]

 Contoh 1 :

- A = {x, y, z}

- x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A.

- w ∉ A : w bukan merupakan anggota himpunan A.

Ada beberapa cara dalam menyatakan himpunan yaitu;

1.       Mencacahkan anggotanya (enumerasi)

Dengan cara ini, himpunan tersebut dinyatakan dengan menyebutkan semua anggota himpunannya di dalam suatu kurung kurawal.[2]

Contoh:

- Himpunan empat bilangan ganjil pertama: A = {1,

  3, 5, 7}.

- Himpunan lima bilangan prima pertama: B = {2, 3,

  5, 7, 11}.

- Himpunan bilangan asli yang kurang dari 50 : C =

 {1, 2, ..., 50}

- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1,

 0, 1, 2, …}.

2.       Menggunakan simbol standar (baku)

Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu simbol standar (baku) yang telah diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiah).[2]

Contoh :

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q =himpunan bilangan rasional.

R = himpunan bilangan riil.

C = himpunan bilangan kompleks.

Himpunan yang universal (semesta pembicaraan) dinotasikan dengan U.

Conntoh :

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A = {1, 3, 5} merupakan himpunan bagian dari U.

3.     Menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan.

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasinya sebagai berikut : { x ⎥ syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh  :

(i) A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10 A = { x | x ≤ 10 dan x ∈ N } atau A = { x ∈ N | x ≤ 10 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} [2]

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit} Atau M = { x adalah mahasiswa | ia mengambil kuliah matematika diskrit}[2]

4.     Menggunakan Diagram Venn.

Kita tahu bahwa diagram Venn sangat banyak membantu dalam konsep himpunan. Dengan mudah kita dapat memahami himpunan, irisan 2 himpunan, irisan 3 himpunan dengan bantuan digram Venn.[2]

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn. [2]

Contoh  :

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: U 1 25 3 68 4 7 A B Terkait dengan masalah keanggotaan, suatu himpunan dapat dinyatakan sebagai anggota himpunan lain. [2]

Contoh  :

a. Misalkan, M = { mahasiswa STT Telkom } M1 = { mahasiswa anggota himatel} M2 = { mahasiswa anggota HMTI} M3 = { mahasiswa anggota HMIF} Dengan demikian, M = { M1, M2, M3 }[2]

b.  Bila P1 = {x, y}, P2 = { {x, y} } atau P2={P1}, Sementara itu, P3 = {{{x, y}}}, maka x ∈ P1 dan y ∉ P2, sehingga P1 ∈ P2 , sedangkan P1 ∉ P3, tetapi P2 ∈ P3 Jumlah unsur dalam suatu himpunan dinamakan kardinalitas dari himpunan tersebut. Misalkan, untuk menyatakan kardinalitas himpunan A ditulis dengan notasi: n(A) atau ⎢A ⎢[2]

C.    Jenis-Jenis Himpunan.

1.     Himpunan kosong (Empty set)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak           memiliki anggota satupun.

Notasi : {} atau ø[2]

Contoh :

S = {x|x  adalah manusia yang bernapas dengan     insang}

S adalah himpunan kosong karena S tidak memiliki elemen (tidak ada manusia yang bernapas dengan insang)[2]

2.     Himpunan bagian (subset)

Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B.

Notasi : A ⊂ B

A ⊂ B     B; A himpunan bagian dari himpunan B bila tiap anggota himpunan A adalah elemen B.[2]

Contoh:

A={2,3,4} dan B={1,2,3,4,5,6}, maka A ⊂ B

3.     Himpunan yang sama.

 Himpuana A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B demikian pula sebaliknya.

Notasi : A=B[2]

Contoh:

P={a,b,c,d} dan Q={d,c,b,a}; maka P=Q

4.     Himpunan yang ekivalen

 Himpunan  A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A~B[2]

Contoh :

X= {p,q,r,s,} dan Y={2,3,5,7}, maka  X~Y

5.     Himpunan Saling lepas

Himpunan  A dikatakan saling lepas dengan himpunan B jika keduanya memiliki anggota yang sama.

Notasi : A//B[2]

Contoh :

C= {1,3,5,7} dan  D ={a,b,c,d}, maka C//D.

6.     Himpunan Kuasa (Power Set)

Himpunan kuasa adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan. [2]

Contoh :

S={0,1} maka himpunan kuasanya P(S)= {ø,{0},{1},{0,1}}

7.     Himpunan Terhingga

Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga.[2]

Contoh :

P={x|x adalah bilangan asli kurang dari 10}

P adalah himpunan terhingga, karena elemen-elemenya terhinnga yaitu 1.2,3,4,5,6,7,8,9.

8.     Himpunan tak Hingga

Himpunan tak hinngga adalah himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga atau tidak terbatas.[2]

Contoh :

A={x|x adalah bilangan asli}

A adalah himpunan tak higga karena elemen-elemenya tidak terbatas atau tidak terhingga.

D.    Operasi Himpunan.

Ada beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan , gabungan, komplemen, selisih dan beda setangkup. [2]

1.     Irisan (intersection)

Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B } Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn seperti pada gambar ١.

Gbr. ١ Contoh gambar Diagram venn himpunan irisan.

Contoh :

1. Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12}, maka A ∩ B = {3}

2. Misalkan A adalah himpunan mahasiswi TI STT Telkom dan B merupakan himpunan wanita lanjut usia (50 tahun ke atas) maka A ∩ B = ∅. Hal ini berarti A dan B adalah saling lepas atau A // B.[3]

2.     Gabungan (union)

 Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘. Misalkan A dan B adalah himpunan,maka A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn seperti ditunjukan pada gambar ٢.

 

Gbr. ٢ Contoh gambar diagram venn gabungan himpunan.

Contoh :

(i)    Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A  ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7}

(ii)                 (ii) A ∪ ∅ = A[3]

3.     Komplemen (complement)

Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh : A = { x | x ∈ U dan x ∉ A } Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn seperi ditunjukan pada gambar ٣

Gbr. ٣ Contoh gambar diagram venn complemen himpunan.

Contoh  (i)

(i)Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 5, 6, 8} jika A = { x ∈ U | x habis dibagi dua }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

Contoh (ii)

A = himpunan mahasiswa STT Telkom

B = himpunan mahasiswa yang tinggal di Asrama

C = himpunan mahasiswa angkatan 2004

D = himpunan mahasiswa yang mengambil matematika diskrit E = himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi ke kampus.

a. Pernyataan “Semua mahasiswa STT Telkom angkatan 2004 yang membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut : (A ∩ C) ∩ E

b. Pernyataan “Semua mahasiswa STT Telkom yang tinggal di asrama dan tidak mengambil matematika diskrit” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :

 A ∩ B ∩ D

d.Pernyataan “semua mahasiswa angkatan 2004 yang tidak tinggal di asrama atau tidak membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut : C ∩ ( B ∪ E )[3]

4.     Selisih (difference)

Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B̅

Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B – A = ∅[3]

5.       Beda Setangkup (Symmetric Difference)

 Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘ ⊕ ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan oleh : A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A). Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Vennnya seperti ditunjukan pada gambar۴

Gbr.۴ Contoh diagram venn beda setangkup himpunan.

Contoh  :

Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 } Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif)

(b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)[3]

6.       Perkalian Kartesian (cartesian product)

 Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘× ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B dinotasikan oleh : A × B = {(a, b) ⏐ a ∈ A dan b ∈ B }

Contoh  :

(i)Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A × B = himpunan semua titik di bidang datar Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut adalah perkalian antara kardinalitas masing-masing himpunan.

Dengan demikian, jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:

|A × B| = |A| . |B|. Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a). Dengan argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A × B ≠ B × A dimana A atau B bukan himpunan kosong. Jika A = ∅ atau B = ∅, maka A × B = B × A = ∅

Hukum-hukum yang berlaku untuk operasi himpunan adalah sebagai berikut :

1. Hukum identitas:

− A ∪ ∅ = A

 − A ∩ U = A

2. Hukum null/dominasi:

 − A ∩ ∅ = ∅ − A ∪ U = U

3. Hukum komplemen:

− A ∪ Ā = U

− A ∩ Ā = ∅

4. Hukum idempoten:

− A ∪ A = A

− A ∩ A = A

5. Hukum involusi:( Ā) = A

6. Hukum penyerapan (absorpsi):

− A ∪ (A ∩ B) = A

− A ∩ (A ∪ B) = A

7. Hukum komutatif:

− A ∪ B = B ∪ A

− A ∩ B = B ∩ A

8. Hukum asosiatif:

− A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

 − A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

9. Hukum distributif:

 − A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

 − A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

10. Hukum De Morgan:

− B ∩ A    = Ā∪B̅

− B ∪ A    = Ā ∩ B̅

11. Hukum komplemen − ∅ = U− U̅ = ∅[3]

E.    Prinsip Dualitas

Prinsip dualitas mengemukakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. [2]

Contoh :

AS →kemudi mobil di kiri depan

Indonesia →kemudi mobil di kanan depan

Peraturan:

(a)  di Amerika Serikat,

• mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,

• pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,

• bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

b.     di Indonesia,

• mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,

• pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,

• bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas pada kasus diatas adalah:

Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.

(Prinsip Dualitas pada Himpunan).

Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ∪, ∩, dan komplemen. Jika S* merupakan kesamaan yang berupa dual dari S maka dengan mengganti ∪ → ∩, ∩ → ∪, ∅ → U, U → ∅, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka operasi-operasi tersebut pada kesamaan S* juga benar.

Tabel 1.1 Dualitas dari Hukum Aljabar Himpunan

1.Hukumidentitas: A ∪ ∅ = A	Dualnya: A ∩ U = A
2.Hukum null/dominasi: A ∩ ∅ = ∅	Dualnya: A ∪ U = U
3. Hukum komplemen : A ∪ A = U	Dualnya: A ∩ A = ∅
4. Hukum idempoten : A ∪ A = A	Dualnya: A ∩ A = A
5. Hukum penyerapan : A ∪ (A ∩ B) = A	Dualnya: A ∩ (A ∪ B) = A
6. Hukum komutatif : A ∪ B = B ∪ A	Dualnya: A ∩ B = B ∩ A
7. Hukum asosiatif : A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C	Dualnya: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
8. Hukum distributif : A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)	Dualnya: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
9. Hukum De Morgan: B ∪ A= Ā ∩ B	Dualnya:  B∩ A = A ∪ B
10. Hukum 0/1 ∅ = U	Dualnya: U = ∅

Contoh :

Misalkan A ∈ U dimana A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) maka pada dualnya, misalkan U*, berlaku :

A = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B).

Dalam membuktikan kebenaran suatu pernyataan atau merepresentasikan suatu pernyataan dengan cara lain dengan menggunakan bantuan himpunan ada beberapa cara, antara lain :

a.Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh  :

Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Tunjukan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) dengan diagram Venn.

Jawab :

Cara ini dilakukan bukan dalam pembuktian formal, dengan menggambarkan sejumlah himpunan yang diketahui dan mengarsir setiap operasi yang diinginkan secara bertahap, sehingga diperoleh himpunan hasil operasi secara keseluruhan.

A ∩ (B ∪ C) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

b.Beberapa contoh dalam membuktikan pernyataan dengan menggunakan aljabar himpunan.

Contoh :

Misalkan A dan B himpunan. Tunjukan bahwa :

 A ∪ (B – A) = A ∪ B

Jawab :

A ∪ (B – A) = A ∪ (B ∩ A) (Definisi operasi selisih)

                    = (A ∪ B) ∩ (A ∪ A) (Hukum distributif)

                    = (A ∪ B) ∩ U (Hukum komplemen)

                    = A ∪ B (Hukum identitas)

Contoh:

Tunjukan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, berlaku

(i) A ∪ ( A ∩ B) = A ∪ B dan

(ii) A ∩ ( A ∪ B) = A ∩ B

Jawab :

(i)A ∪ ( A ∩ B) = ( A ∪ A ) ∩ (A ∪ B) (H. distributif)

                          = U ∩ (A ∪ B) (H. komplemen)

                          = A ∪ B (H. identitas)

(ii) adalah dual dari (i)

A ∩ ( A ∪ B) = (A ∩ A ) ∪ (A ∩ B) (H. distributif)

                      = ∅ ∪ (A ∩ B) (H. komplemen) 

                      = A ∩ B (H. identitas)[3]

F.     Multi Set dan Fuzzy Set

 Pada bagian akan diberikan penjelasan tentang Multi Set dan Fuzzi Set. Sehingga diharapkan pembaca dapat mengetahui perbedaan di antara keduanya.[2]

1.       Multi Set

Himpunan yang unsurnya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut multi set (himpunan ganda).

Contoh  :

A = {1, 1, 1, 2, 2, 3}, B = {2, 2, 2},

C = {2, 3, 4}, D = {}.

Multiplisitas dari suatu unsur pada multi set adalah jumlah kemunculan unsur tersebut pada multi set tersebut.

Contoh  :

M = { 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1 }, multiplisitas 1 adalah 4 dan multiplisitas 2 adalah 3, sementara itu multiplisitas 3 adalah 2. Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap unsurnya adalah 0 atau 1. Himpunan yang multiplisitas dari unsurnya 0 adalah himpunan kosong. Misalkan P dan Q adalah multiset, operasi yang berlaku pada dua buah multi set tersebut adalah sebagai berikut :

a. P ∪ Q merupakan suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas maksimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh :

P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, maka P ∪ Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }

b . P ∩ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas minimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh :

P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } maka P ∩ Q = { a, a, c }

c. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas unsur tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, ini berlaku jika jika selisih multiplisitas tersebut adalah positif. Jika selisihnya nol atau negatif maka multiplisitas unsur tersebut adalah nol.

Contoh  :

P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }

d. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas unsur tersebut pada P dan Q.

Contoh :

P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d }, maka P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

2.       Fuzzy set

Misalkan, U merupakan himpunan semesta pembicaraan (Universal Set). Crisp Set merupakan himpunan bagian dari U yang membedakan antara anggota dan bukan anggotanya dengan batasan yang jelas (pasti).

Contoh  :

A = {x | x ∈ Z dan x > 2} atau A = {3, 4, 5, …} Jelas bahwa 3 ∈ A dan 1∉ A

Pada suatu fuzzy set, anggotanya mempunyai nilai keanggotaan tertentu yang ditentukan oleh membership function (fungsi keanggotaan). Fungsi keanggotaan mempunyai kisaran antara nol dan satu. Notasi dari fungsi keanggotaan adalah μA(x) = [0,1]

Contoh  :

A = {5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80} , merupakan crisp set umur dalam tahun. Fuzzy set “balita”, “dewasa”, “muda”, dan “tua” adalah subset dari A.[1]

G.    Representasi Biner

Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing elemen S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa elemen tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa elemen tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:

 Himpunan                            Representasi Biner

 ----------------------------        -------------------

                                                    a b c d e f g

 S = { a, b, c, d, e, f, g }    -->     1 1 1 1 1 1 1

 A = { a,    c,    e, f    }      -->     1 0 1 0 1 1 0

 B = {    b, c, d,    f    }      -->     0 1 1 1 0 1 0

Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union, interseksi, dan komplemen, karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya

·       Operasi gabungan                 setara dengan A or B

·       Operasi irisan                        setara dengan A and B

·       Operasi komplemen              setara dengan not A

Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.[3]

H.      Teori Himpunan

Merupakan bidang matematika yg mengkaji himpunan yakni kumpulan (koleksi) dari

objek-objek. Dasar dari kajian himpunan adalah konsep keanggotaan. Kajian himpunan berawal

dari pemilahan obyek-obyek fisik yg mempunyai kesamaan sifat .

Walaupun obyek tersebut dapat berupa obyek apapun, namun dalam matematika objek

tersebut berupa obyek yang relevan dengan matematika, yaitu bilangan (untuk selanjutnya vektor,

fungsi). Di dalam matematika, teori himpunan merupakan dasar dari semua bidang kajian,

terutama untuk analisis matematis, topologi, aljabar abstrak, dan matematika diskret.

Pada umumnya dalam teori himpunan, digunakan 2(dua) pendekatan yaitu

(i) Pendekatan intuitif (pendekatan tradisionil), seperti yang biasa dipelajari, dan

(ii) Pendekatan aksiomatik (pendekatan modern).

Pendekatan modern ini berawal dari kajian aksioma dan sistem aksioma, serta paradoks

(oleh Cantor dan Dedekind). Dalam kerangka aksiomatik ini, diketengahkan (oleh Zermelo-Fraenkel) aksioma yang dikenal sebagai aksioma pemilihan (axiom of choice)

Pendekatan aksiomatik dari teori himpunan dengan pendekatan logika matematis, teori pembuktian, teori model, dan teori rekursi, dikenal sebagai fondasi matematika. Pencarian jawaban kebenaran dalam kerangka fondasi matematika tersebut melatar belakangi filsafat matematika.

Terdapat himpunan dengan pendekatan lain yang bukan merupakan bahasan dalam teori

himpunan. Pendekatan penentuan keanggotannya tidak bersifat deterministik seperti dalam kajian himpunan yang telah disebutkan di atas. Dalam hal ini keanggotaannya ditentukan berdasarkan konsep possibility. Himpunan ini dikenal dengan himpunan kabur (fuzzy set)[4]

I.      Menyelesaikan Masalah Dengan Konsep Himpunan

Jika kita amati masalah dalam kehidupan sehari-hari maka banyak diantaranya dapat diselesaikan dengan konsep himpunan. Agar dapat menyelesaikannya, kita harus memahami kembali mengenai konsep diagram venn. Kita dapat menyatakan permasalahan tersebut dalam suatu diagram  venn.[5]

Contoh :

Dalam suatu kelas yang terdiri atas 40 siswa, diketahui 24 siswa gemar bermain tenis, 23 siswa gemar bermain sepak bola, dan 11 siswa gemar kedua-duanya. Gambarlah diagram venn dari keterangan tersebut,kemudian tentukan banyaknya siswa.

a.                   Yang hanya gemar bermaun tenis

b.Yang hanya gemar bemain sepak bola;

c.Yang tidak gemar kedua-duanya.

Penyelesaian:

40

4

Dalam menentukan banyaknya anggota masing-masing himpunan pada diagram venn, tentukan terlebih dahulu banyaknya anggota yang gemar bermain tenis dan sepak bola, yaitu 11 siswa.

Diagram venn-nya seperti seperti ditunjukan pada gambar ۵

Gbr. ۵  Diagram venn penyelesaian masalah dengan konsep himpunan.

 

a.     banyak siswa yang hanya gemar tenis

=24-11=13 siswa

b.     yang hanya gemar bermain sepak bola

=23-11=12 siswa

c.     banyak siswa yang tidak gemar kedua-duanya

=40-13-11-12

=4 siswa.

BAB III PENUTUP

A.    Kesimpulan 

1.     Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

2.      Himpunan juga terbagi atas beberapa bagian yaitu; himpunan kosong (empty set),himpunan bagian (subset), himpunan yang sama , himpunan yang ekivalen, himpunan saling lepas, himpunan kuasa(power set), himpunan terhingga, dan himpunan tak hingga.

3.     Dalam suatu himpunan terdapat operasi-operasi antara lain yaitu; union (gabungan), irisan (intersection), selisih (difference), komplemen (complement), beda setangkup (symmetric difference), dan perkalian kartesian (cartesian product).

4.     Dalam suatu himpuan terdapat Prinsip Dualitas yang mana Prinsip dualitas mengemukakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

5.     Dalam suatu himpunan juga terdapat multi set dan fuzzy set Sehingga dapat mengetahui perbedaan di antara keduanya, yang mana multi set merupakan himpunan yang unsurnya boleh berulang atau tidak harus berbeda /himpunan ganda, Sedangkan pada fuzzy set dimisalkan, U merupakan himpunan semesta pembicaraan (Universal Set). Crisp Set merupakan himpunan bagian dari U yang membedakan antara anggota dan bukan anggotanya dengan batasan yang jelas (pasti) itulah yang disebut fuzzy set.

6.     Contoh penerapan himpunan matematika sangat banyak dalam kehidupan sehar–hari diantaranya untuk menghitung survey seperti contoh diatas.

B.    Saran

Tanpa kita sadari ternyata  begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk  kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang ekonomi, pendidikan dan dalam berbagai disiplin ilmu yang lainya. Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih serius dalam mempelajari matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tidak  terpisahkan dalam kehidupan kita.

UCAPAN TERIMA KASIH

Terima kasih disampaikan kepada bapak Haris sebagai dosen pembimbing saya yang telah meluangakan waktunya dalam membimbing saya  dalam menyusun makalah ilmiah ini sehingga makalah ilmiah ini dapat tersusun dan dapat dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari.

Dan tidak lupa pula terima kasih disampaikan kepada teman-teman saya  yang telah berpartisipasi dalam membantu menyusun makalah ilmiah ini.

REFERENSI

http://www.google.com/gwt/x?hl=http://susi-deswati.blogspot.com2012/12/makalah-matematika himpunan,diakses tgl 25 mei 2013.

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196612131992031-CECE_KUSTIAWAN/Himpunan.pdf , diakses tgl 26 mei 2013.

http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29 , diakses tgl 26 mei 2013.

http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0358%20Mat%201-1d.htm, diakses tgl 26 mei 2013

Nuharini Dewi dan Tri Wahyuni,2008,Matematika 1 konsep dan aplikasi nya untuk kelas VII SMP dan MTS, cv.karya utama ,Surabaya.