PROFIL
Nama Lengkap : Munawan Lewenussa
Ttl : Waitetes 6 Januari 1991
Agama : Islam
Alamat : Apui Jln, Jeruk RT 5
Warga Negara : Indonesia
Jenis Kelamin : laki-laki
Gol. Darah : A
Status : Pelajar
Hobbi : Nongkrong sama Teman-teman (Kopi & Buku)
Cita-cita : Kepala Dinas Pendidikan
Asal Universitas : Darussalam Ambon Kampus "C" Masohi
Asal Organisasi : Kompas Masohi & Hmi Cabang Masohi
Selasa, 18 Juni 2013
Makalah Ilmiah
Himpunan(Set)
Nama Mahasiwa: Munawan Lewenussa, Dosen
Pembimbing: Haris k.
Program Studi Pendidikan
Matematika Unidar Ambon
Kampus ”C” Masohi
Kampus ”C” Masohi
Jln. Raya
Trans Seram Masohi INDONESIA
Institusi non FKIP
Unidar Ambon
Alamat termasuk nama negara
e-mail:lewnusa@student.unidar.ac.id, munawan@student.unidar.ac.id
Alamat termasuk nama negara
Abstrak
Ilmu
studi matematika himpunan adalah kumpulan dari sesuatu atau elemen yang mana
elemen satu dengan yang lainnya saling berbeda yang didefenisikan secara jelas,
yang mana dalam kehidupan yang nyata, banyak sekali masalah yang
terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu.
Himpunan
biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari- hari. Dalam
kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam himpunan
mahasiswa ilmu pendidikan dan keguruan Universitas Darussalam Ambon, kumpulan
hewan berkaki dua, koleksi perangko, kelompok belajar, gugus depan dalam
pramuka dan kata jenis lainya. Kata
himpunan kata kumpulan, koleksi,kelompok dalam kehidupan sehari-hari memiliki
arti yang sama.
Peneliti mengangkat
topik urgensi dan peranan matemetika himpunan
dalam kehidupan sehari-hari karena setelah melalui metode penelitian berupa
survey dan observasi ternyata matematika himpunan sangat berfungsi dalam
kehidupan kita baik yang paling mudah maupun sampai yang tersulit sekalipun.
Dengan
mempelajari matematika himpunan tidaklah sia-sia karena dapat dijadikan sebagai
media untuk melatih berpikir kritis,inovatif, kreatif, dan mandiri serta mampu menyelesaikan
masalah. Oleh karena itu matematika sangat berperan dalam kehidupan
sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari matematika, sekalipun kita
mengambil jurusan ilmu hukum tetap saja ada pelajaran matematika didalamnya
karena mau tidak mau matematika digunakan dalalm kehidupan sehari-hari.
Kata
kunci: Pentingnya memahami matematika himpunan,matematika
himpunan bermanfaat dalam membantu berpikir secara logika,matematika himpunan
sebagai pedoman dan berperan penting
sebagai media pembentuk integritas seseorang.
bab i pendahuluan
A.
Latar Belakang
Pada umumnya, belajar matematika identik
dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu. Dengan buku paket dan LKS yang sangat
tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar/siswa merasa bosan untuk
belajar matematika. Sering kali mereka bertanya’’ apasih manfaat belajar
matematika dalam kehidupan sehari-hari ? apa manfaat aljabar ? apa manfaat
himpunan? Apa manfaat trigonometri?
Pertanyaan-pertanyaan
seperti itu sudah sering mereka lontarkan kepada guru-guru pembimbing mereka.
Pertanyaann itu mereka lontarkan karena mereka sudah kesal terhadap pelajaran
mereka yang terasa membosankan dan tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika
sangat berfungsi dalam kehidupan sehari-hari, baik yang paling muda sampai yang
tersulit sekalipun.
Matematika
sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri, dan
mampu menyelesaikan masalah. Sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan
ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa
matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat
menghindar dari matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu hukum tetap
saja ada pelajaran matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika di
gunakan dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam
kehidupan sehari-hari[1].
B.
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut rumusan
masalah dapat di angkat antara lain sebagai berikut :
1.
Bagaimana manfaat belajar himpunan
dalam kehidupan sehari-hari?
2.
Bagaimana definisi dan keanggotaan
suatu himpunan?
3.
Bagaimana membedakan jenis jenis
himpunan?
4.
Bagaimana operasi pada himpunan?
5.
Bagaimana prinsip dualitas pada
himpunan?
6.
Bagaimana
membedakan multi Set dan fuzzy Set pada himpunan?
7. Bagaimana Representasi Biner
pada himpunan?
8.
Bagaimana Teori
pada Himpunan?
9.
Bagaimana menyelesaikan masalah dengan konsep himpunan dalam kehidupan sehari-sehari?
C.
Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ilmia ini
adalah sebagai berikut :
1. Untuk mengetahui
manfaat belajar himpunani dalam kehidupan sehari-hari
2. Untuk mengetahui
definisi dan keanggotaan suatu himpunan
3.
Untuk mengetahui jenis jenis himpunan.
4.
Untuk mengetahui operasi pada
himpunan.
5.
Untuk mengetahui prinsip dualitas pada himpunan.
6. Utuk dapat membedakan Multi Set dan Fuzzy Set
pada himpunan.
7.
Untuk mengetahui Representasi Biner pada himpunan.
8. Untuk mengetahui Teori pada Himpunan.
9.
Untuk dapat menyelesaikan
masalah dengan konsep himpunan
dalam kehidupan sehari-sehari.
bab ii pembahasan
Dalam
kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang
dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data (objek) inilah yang
selanjutnya didefinisikan sebagai himpunan. Pada makalah ilmiah ini akan
dibahas tentang manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, definisi dan
keanggotaan suatu himpunan, jenis- jenis himpunan, operasi himpunan, multi set dan fuzzy Set pada himpunan,biner
pada himpunan, teori pada himpunan, menyelesaikan masalah dengan konsep
himpunan dalam kehidupan sehari-sehari.[1]
A.
Manfaat Belajar himpunan Dalam Kehidupan Sehari-hari.
Membahas
mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, mengingatkan kita yang
mungikn sebagai guru atau orang tua saat ada pertanyaan yang terlontar dari
anak dengan wajah polosnya “ apa manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari?
Mereka belum tahu betapa pentingnya himpunan
yang merupakan dasar
dari segala ilmu matematika.[1]
Dengan mempelajari himpunan, kemampuan logika akan
semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis,
dalam kehidupan sehari-hari, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir.
Banyak kegunaan logika antara lain:
1.
Membantu setiap orang yang
mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus,tetap,tertib,
melodis dan koheren.[1]
2.
Meningkatkan kemampuan
berpikir secara abastrak, cermat,dan objektif.[1]
3.
Menambah kecerdasan dan
meningkatkan kemepuan berpikir secara tajam dan mandiri.[1]
4.
Memeaksa dan mendorong orang
untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.[1]
5.
Meningkatkan cinta akan
kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta
kesesatan.[1]
6.
Mampu melakukan analisis
terhadap suatu kejadian.[1]
B. Definisi dan Keanggotaan Suatu Himpunan.
Himpunan (set) merupakan
sekumpulan objek-objek yang berbeda
yang dapat didefinisikan dengan jelas. Objek di dalam himpunan dinamakan unsur
atau anggota himpunan. Keanggotaan suatu himpunan dinyatakan oleh notasi ’∈’.[2]
Contoh 1
:
- A = {x, y, z}
- x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A.
- w ∉ A : w bukan merupakan anggota himpunan A.
Ada beberapa cara dalam menyatakan himpunan
yaitu;
1.
Mencacahkan anggotanya (enumerasi)
Dengan cara ini, himpunan tersebut dinyatakan
dengan menyebutkan semua anggota himpunannya di dalam suatu kurung kurawal.[2]
Contoh:
- Himpunan empat bilangan ganjil pertama: A
= {1,
3, 5, 7}.
- Himpunan lima bilangan prima pertama: B =
{2, 3,
5, 7, 11}.
- Himpunan bilangan asli yang kurang dari 50
: C =
{1, 2,
..., 50}
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…,
-2, -1,
0, 1,
2, …}.
2.
Menggunakan simbol standar (baku)
Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu
simbol standar (baku) yang telah diketahui secara umum oleh masyarakat
(ilmiah).[2]
Contoh :
N = himpunan bilangan alami
(natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ...,
-2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q =himpunan bilangan rasional.
R = himpunan bilangan riil.
C = himpunan bilangan kompleks.
Himpunan yang universal (semesta pembicaraan)
dinotasikan dengan U.
Conntoh :
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A = {1, 3, 5} merupakan
himpunan bagian dari U.
3.
Menuliskan kriteria (syarat)
keanggotaan himpunan.
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara
menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini
dinotasinya sebagai berikut : { x ⎥
syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh :
(i) A adalah himpunan bilangan asli
yang kecil dari 10 A = { x | x ≤ 10 dan x ∈ N } atau A =
{ x ∈ N | x ≤ 10 } yang ekivalen dengan A = {1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} [2]
(ii) M = { x | x adalah
mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit} Atau M = { x adalah
mahasiswa | ia mengambil kuliah matematika diskrit}[2]
4.
Menggunakan Diagram Venn.
Kita tahu bahwa diagram Venn sangat banyak membantu dalam konsep
himpunan. Dengan mudah kita dapat memahami himpunan, irisan 2 himpunan, irisan
3 himpunan dengan bantuan digram Venn.[2]
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara
menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn.
[2]
Contoh :
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1,
2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: U 1 25 3 68 4 7 A
B Terkait dengan masalah keanggotaan, suatu himpunan dapat dinyatakan
sebagai anggota himpunan lain. [2]
Contoh :
a. Misalkan, M = { mahasiswa STT
Telkom } M1 = { mahasiswa anggota himatel} M2 = { mahasiswa
anggota HMTI} M3 = { mahasiswa anggota HMIF} Dengan demikian,
M = { M1, M2, M3 }[2]
b. Bila
P1 = {x, y}, P2 = { {x, y} } atau P2={P1},
Sementara itu, P3 = {{{x, y}}}, maka x ∈ P1 dan y ∉ P2, sehingga P1 ∈ P2 , sedangkan P1 ∉ P3,
tetapi P2 ∈ P3 Jumlah unsur dalam
suatu himpunan dinamakan kardinalitas dari
himpunan tersebut. Misalkan, untuk menyatakan kardinalitas himpunan A ditulis
dengan notasi: n(A) atau ⎢A
⎢[2]
C. Jenis-Jenis Himpunan.
1. Himpunan kosong (Empty set)
Himpunan kosong
adalah himpunan yang tidak memiliki
anggota satupun.
Notasi : {} atau ø[2]
Contoh :
S = {x|x adalah manusia yang bernapas dengan insang}
S adalah himpunan
kosong karena S tidak memiliki elemen (tidak ada manusia yang bernapas dengan
insang)[2]
2. Himpunan bagian (subset)
Himpunan A disebut
himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A
merupakan anggota himpunan B.
Notasi : A ⊂ B
A ⊂ B B; A himpunan bagian dari himpunan B bila tiap
anggota himpunan A adalah elemen B.[2]
Contoh:
A={2,3,4} dan
B={1,2,3,4,5,6}, maka A ⊂ B
3. Himpunan yang sama.
Himpuana A dikatakan sama dengan himpunan B
jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B
demikian pula sebaliknya.
Notasi : A=B[2]
Contoh:
P={a,b,c,d} dan
Q={d,c,b,a}; maka P=Q
4. Himpunan yang ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika
dan hanya jika kardinal kedua himpunan tersebut sama.
Notasi : A~B[2]
Contoh :
X= {p,q,r,s,} dan
Y={2,3,5,7}, maka X~Y
5. Himpunan Saling lepas
Himpunan A dikatakan saling lepas dengan himpunan B
jika keduanya memiliki anggota yang sama.
Notasi : A//B[2]
Contoh :
C= {1,3,5,7}
dan D ={a,b,c,d}, maka C//D.
6. Himpunan Kuasa (Power Set)
Himpunan kuasa
adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan. [2]
Contoh :
S={0,1} maka
himpunan kuasanya P(S)= {ø,{0},{1},{0,1}}
7. Himpunan Terhingga
Himpunan terhingga
adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga.[2]
Contoh :
P={x|x adalah
bilangan asli kurang dari 10}
P adalah himpunan
terhingga, karena elemen-elemenya terhinnga yaitu 1.2,3,4,5,6,7,8,9.
8. Himpunan tak Hingga
Himpunan tak
hinngga adalah himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga atau tidak terbatas.[2]
Contoh :
A={x|x adalah
bilangan asli}
A adalah himpunan
tak higga karena elemen-elemenya tidak terbatas atau tidak terhingga.
D. Operasi Himpunan.
Ada beberapa operasi himpunan yang perlu
diketahui, yaitu : irisan , gabungan, komplemen, selisih dan beda setangkup. [2]
1.
Irisan (intersection)
Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan
oleh tanda ‘∩ ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak
saling lepas, maka A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B } Jika dinyatakan dalam
bentuk diagram Venn seperti pada gambar ١.
Gbr. ١
Contoh
gambar Diagram venn himpunan irisan.
Contoh :
1. Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B
= {3, 6, 9, 12}, maka A ∩ B = {3}
2. Misalkan A adalah himpunan
mahasiswi TI STT Telkom dan B merupakan himpunan wanita lanjut usia (50
tahun ke atas) maka A ∩ B = ∅.
Hal ini berarti A dan B adalah saling lepas atau A // B.[3]
2. Gabungan (union)
Gabungan
antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan,maka A ∪ B = { x | x ∈ A
atau x ∈ B }
Jika
dinyatakan dalam bentuk diagram Venn seperti ditunjukan pada gambar ٢.
Gbr. ٢
Contoh gambar diagram venn gabungan himpunan.
Contoh :
(i)
Jika
A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7}
(ii)
(ii)
A ∪ ∅ = A[3]
3. Komplemen (complement)
Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur
-unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota
himpunan tersebut. Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta
pembicaraan U, maka komplemen
dari himpunan A dinotasikan oleh : A = { x | x ∈ U dan x ∉ A } Jika dinyatakan dalam
bentuk diagram Venn seperi ditunjukan pada gambar ٣
Gbr. ٣
Contoh gambar diagram venn complemen himpunan.
Contoh (i)
(i)Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, jika A
= {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 5, 6, 8} jika A = { x ∈ U | x habis dibagi dua }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh (ii)
A = himpunan mahasiswa STT Telkom
B = himpunan mahasiswa yang tinggal di Asrama
C = himpunan mahasiswa angkatan 2004
D = himpunan mahasiswa yang mengambil
matematika diskrit E = himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi
ke kampus.
a. Pernyataan “Semua mahasiswa STT Telkom
angkatan 2004 yang membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam
notasi operasi himpunan sebagai berikut : (A ∩ C) ∩ E
b. Pernyataan “Semua mahasiswa STT Telkom
yang tinggal di asrama dan tidak mengambil matematika diskrit” dapat dinyatakan
dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :
A ∩
B ∩ D
d.Pernyataan “semua mahasiswa angkatan 2004
yang tidak tinggal di asrama atau tidak membawa motor untuk pergi ke kampus”
dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut : C ∩ ( B
∪ E )[3]
4.
Selisih
(difference)
Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan
oleh tanda ‘– ‘.
Misalkan A dan B adalah
himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh A – B = { x |
x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B̅
Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B
= { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B –
A = ∅[3]
5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Beda
setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘ ⊕ ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup
antara A dan B dinotasikan oleh : A ⊕ B
= (A ∪ B) – (A ∩ B)
= (A – B) ∪ (B – A). Jika
dinyatakan dalam bentuk diagram Vennnya seperti ditunjukan pada gambar۴
Gbr.۴
Contoh diagram venn beda setangkup himpunan.
Contoh :
Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B =
{ 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 } Beda
setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A ⊕ B
= B ⊕ A (hukum komutatif)
(b) (A ⊕ B
) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)[3]
6. Perkalian Kartesian (cartesian product)
Perkalian
kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘× ‘.
Misalkan A dan B adalah
himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B dinotasikan oleh : A ×
B = {(a, b) ⏐ a ∈ A
dan b ∈ B }
Contoh :
(i)Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D =
{ a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b),
(2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan
semua bilangan riil, maka A × B = himpunan semua titik di bidang
datar Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka
kardinalitas himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan
tersebut adalah perkalian antara kardinalitas masing-masing himpunan.
Dengan demikian, jika A dan B merupakan
himpunan berhingga, maka:
|A × B| = |A| . |B|.
Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a),
dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a). Dengan argumen
ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A × B ≠ B
× A dimana A atau B bukan himpunan kosong. Jika A =
∅ atau B = ∅, maka A × B = B ×
A = ∅
Hukum-hukum yang berlaku untuk operasi
himpunan adalah sebagai berikut :
1. Hukum identitas:
− A ∪ ∅ = A
− A ∩ U = A
2. Hukum null/dominasi:
− A ∩ ∅ = ∅ − A ∪ U = U
3. Hukum komplemen:
− A ∪ Ā
= U
− A ∩ Ā = ∅
4. Hukum idempoten:
− A ∪ A
= A
− A ∩ A = A
5. Hukum involusi:( Ā) =
A
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
− A ∪ (A
∩ B) = A
− A ∩ (A ∪ B) = A
7. Hukum komutatif:
− A ∪ B
= B ∪ A
− A ∩ B = B ∩ A
8. Hukum asosiatif:
− A ∪ (B
∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
− A ∩ (B ∩ C)
= (A ∩ B) ∩ C
9. Hukum distributif:
− A
∪ (B ∩ C) = (A ∪ B)
∩ (A ∪ C)
− A
∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)
∪ (A ∩ C)
10. Hukum De Morgan:
− B ∩ A = Ā∪B̅
− B ∪ A = Ā ∩ B̅
11. Hukum komplemen − ∅ = U− U̅ = ∅[3]
E. Prinsip Dualitas
Prinsip dualitas mengemukakan bahwa dua
konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang
benar. [2]
Contoh :
AS →kemudi mobil di kiri depan
Indonesia →kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a) di Amerika Serikat,
• mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,
• pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri
untuk mendahului,
• bila lampu merah menyala, mobil belok kanan
boleh langsung
b.
di
Indonesia,
• mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
• pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan
untuk mendahului,
• bila lampu merah menyala, mobil belok kiri
boleh langsung
Prinsip dualitas pada kasus diatas adalah:
Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan
pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat
menjadi berlaku pula di Inggris.
(Prinsip Dualitas pada Himpunan).
Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity)
yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ∪, ∩,
dan komplemen. Jika S* merupakan kesamaan yang berupa dual dari S maka
dengan mengganti ∪ → ∩, ∩ → ∪, ∅ → U, U → ∅, sedangkan komplemen dibiarkan
seperti semula, maka operasi-operasi tersebut pada kesamaan S* juga benar.
Tabel 1.1 Dualitas
dari Hukum Aljabar Himpunan
1.Hukumidentitas:
A ∪ ∅ = A
|
Dualnya: A ∩ U = A
|
2.Hukum null/dominasi: A ∩ ∅ = ∅
|
Dualnya:
A ∪ U = U
|
3. Hukum komplemen : A ∪ A = U
|
Dualnya:
A ∩ A = ∅
|
4. Hukum idempoten :
A ∪ A = A
|
Dualnya:
A ∩ A = A
|
5. Hukum penyerapan : A ∪ (A ∩ B) = A
|
Dualnya:
A ∩ (A ∪ B) = A
|
6. Hukum komutatif :
A ∪ B = B ∪ A
|
Dualnya:
A ∩ B = B ∩ A
|
7. Hukum asosiatif : A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
|
Dualnya:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B)
∩ C
|
8. Hukum distributif :
A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
|
Dualnya:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
|
9. Hukum De Morgan:
B ∪ A= Ā ∩ B
|
Dualnya:
B∩ A = A ∪ B
|
10. Hukum 0/1 ∅ = U
|
Dualnya: U = ∅
|
Contoh :
Misalkan A ∈ U
dimana A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) maka pada
dualnya, misalkan U*, berlaku :
A = (A
∪ B) ∩ (A ∪ B).
Dalam membuktikan kebenaran suatu pernyataan
atau merepresentasikan suatu pernyataan dengan cara lain dengan menggunakan
bantuan himpunan ada beberapa cara, antara lain :
a.Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh :
Misalkan A, B, dan C adalah
himpunan. Tunjukan bahwa A ∩ (B ∪ C)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) dengan
diagram Venn.
Jawab :
Cara ini dilakukan bukan dalam pembuktian
formal, dengan menggambarkan sejumlah himpunan yang diketahui dan mengarsir
setiap operasi yang diinginkan secara bertahap, sehingga diperoleh himpunan
hasil operasi secara keseluruhan.
A ∩ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Kedua
digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A ∩ (B
∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A
∩ C).
b.Beberapa contoh dalam membuktikan
pernyataan dengan menggunakan aljabar himpunan.
Contoh :
Misalkan A dan B himpunan.
Tunjukan bahwa :
A ∪ (B – A) = A ∪ B
Jawab :
A ∪ (B
– A) = A ∪ (B ∩ A) (Definisi
operasi selisih)
= (A ∪ B)
∩ (A ∪ A) (Hukum distributif)
= (A ∪ B)
∩ U (Hukum komplemen)
= A ∪ B (Hukum identitas)
Contoh:
Tunjukan bahwa untuk sembarang himpunan A dan
B, berlaku
(i) A ∪ ( A
∩ B) = A ∪ B dan
(ii) A ∩ ( A ∪ B) = A ∩ B
Jawab :
(i)A ∪ ( A
∩ B) = ( A ∪ A ) ∩ (A ∪ B) (H. distributif)
= U ∩ (A ∪ B) (H. komplemen)
= A ∪ B (H. identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
A ∩ ( A ∪ B)
= (A ∩ A ) ∪ (A ∩ B) (H.
distributif)
= ∅ ∪ (A ∩ B) (H. komplemen)
= A ∩ B (H.
identitas)[3]
F. Multi
Set dan Fuzzy Set
Pada
bagian akan diberikan penjelasan tentang Multi Set dan Fuzzi Set. Sehingga
diharapkan pembaca dapat mengetahui perbedaan di antara keduanya.[2]
1. Multi Set
Himpunan yang unsurnya boleh berulang (tidak
harus berbeda) disebut multi set (himpunan ganda).
Contoh :
A = {1, 1, 1, 2, 2, 3}, B = {2, 2, 2},
C = {2, 3, 4}, D = {}.
Multiplisitas dari suatu unsur pada multi
set adalah jumlah kemunculan unsur tersebut pada multi set tersebut.
Contoh :
M = { 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1 },
multiplisitas 1 adalah 4 dan multiplisitas 2 adalah 3, sementara itu
multiplisitas 3 adalah 2. Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari
suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap unsurnya
adalah 0 atau 1. Himpunan yang multiplisitas dari unsurnya 0 adalah himpunan
kosong. Misalkan P dan Q adalah multiset, operasi yang
berlaku pada dua buah multi set tersebut adalah sebagai berikut :
a. P ∪ Q
merupakan suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan
multiplisitas maksimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh :
P = { a, a, a, c, d,
d } dan Q ={ a, a, b, c, c },
maka P ∪ Q = { a, a, a,
b, c, c, d, d }
b . P ∩ Q adalah suatu multiset yang
multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas minimum unsur tersebut pada
himpunan P dan Q.
Contoh :
P = { a, a, a, c, d,
d } dan Q = { a, a, b, c, c }
maka P ∩ Q = { a, a, c }
c. P – Q adalah suatu multiset
yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas unsur tersebut pada P
dikurangi multiplisitasnya pada Q, ini berlaku jika jika selisih
multiplisitas tersebut adalah positif. Jika selisihnya nol atau negatif maka
multiplisitas unsur tersebut adalah nol.
Contoh :
P = { a, a, a, b, b,
c, d, d, e } dan Q = { a, a, b,
b, b, c, c, d, d, f } maka P
– Q = { a, e }
d. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah
(sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang
multiplisitas unsurnya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas unsur
tersebut pada P dan Q.
Contoh :
P = { a, a, b, c, c
} dan Q = { a, b, b, d }, maka P +
Q = { a, a, a, b, b, b, c,
c, d }
2. Fuzzy set
Misalkan, U merupakan himpunan semesta pembicaraan (Universal Set). Crisp Set merupakan himpunan
bagian dari U yang membedakan
antara anggota dan bukan anggotanya dengan batasan yang jelas (pasti).
Contoh :
A = {x | x ∈ Z dan x >
2} atau A = {3, 4, 5, …} Jelas bahwa 3 ∈ A
dan 1∉ A
Pada suatu fuzzy set, anggotanya mempunyai nilai keanggotaan tertentu yang
ditentukan oleh membership function (fungsi keanggotaan). Fungsi
keanggotaan mempunyai kisaran antara nol dan satu. Notasi dari fungsi
keanggotaan adalah μA(x) = [0,1]
Contoh :
A = {5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80} ,
merupakan crisp set umur dalam tahun. Fuzzy set “balita”, “dewasa”, “muda”, dan
“tua” adalah subset dari A.[1]
G.
Representasi Biner
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan
semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan
dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing
elemen S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa elemen tersebut ada, dan
nilai 0 menunjukkan bahwa elemen tersebut tidak ada. Dengan kata lain,
masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut.
Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A
= {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:
Himpunan Representasi Biner
---------------------------- -------------------
a b c
d e f g
S = { a, b, c,
d, e, f, g } -->
1 1 1 1 1 1 1
A = { a, c,
e, f } -->
1 0 1 0 1 1 0
B = { b, c, d,
f } -->
0 1 1 1 0 1 0
Cara menyatakan himpunan seperti ini
sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union, interseksi, dan komplemen, karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya
·
Operasi gabungan setara dengan A or B
·
Operasi irisan setara
dengan A and B
·
Operasi komplemen setara dengan not
A
H. Teori Himpunan
Merupakan
bidang matematika yg mengkaji himpunan yakni kumpulan (koleksi) dari
objek-objek. Dasar dari
kajian himpunan adalah konsep keanggotaan. Kajian himpunan berawal
dari pemilahan obyek-obyek
fisik yg mempunyai kesamaan sifat .
Walaupun obyek tersebut
dapat berupa obyek apapun, namun dalam matematika objek
tersebut berupa obyek yang
relevan dengan matematika, yaitu bilangan (untuk selanjutnya vektor,
fungsi). Di dalam
matematika, teori himpunan merupakan dasar dari semua bidang kajian,
terutama untuk analisis
matematis, topologi, aljabar abstrak, dan matematika diskret.
Pada umumnya dalam teori
himpunan, digunakan 2(dua) pendekatan yaitu
(i) Pendekatan intuitif
(pendekatan tradisionil), seperti yang biasa dipelajari, dan
(ii) Pendekatan aksiomatik
(pendekatan modern).
Pendekatan modern ini
berawal dari kajian aksioma dan sistem aksioma, serta paradoks
(oleh Cantor dan Dedekind).
Dalam kerangka aksiomatik ini, diketengahkan (oleh Zermelo-Fraenkel) aksioma
yang dikenal sebagai aksioma pemilihan (axiom of choice)
Pendekatan aksiomatik dari
teori himpunan dengan pendekatan logika matematis, teori pembuktian, teori
model, dan teori rekursi, dikenal sebagai fondasi matematika. Pencarian jawaban
kebenaran dalam kerangka fondasi matematika tersebut melatar belakangi filsafat
matematika.
Terdapat himpunan dengan
pendekatan lain yang bukan merupakan bahasan dalam teori
himpunan. Pendekatan
penentuan keanggotannya tidak bersifat deterministik seperti dalam kajian himpunan
yang telah disebutkan di atas. Dalam hal ini keanggotaannya ditentukan
berdasarkan konsep possibility. Himpunan ini dikenal dengan himpunan
kabur (fuzzy set)[4]
I. Menyelesaikan Masalah Dengan
Konsep Himpunan
Jika kita amati
masalah dalam kehidupan sehari-hari maka banyak diantaranya dapat diselesaikan
dengan konsep himpunan. Agar dapat menyelesaikannya, kita harus memahami
kembali mengenai konsep diagram venn. Kita dapat menyatakan permasalahan
tersebut dalam suatu diagram venn.[5]
Contoh :
Dalam suatu kelas
yang terdiri atas 40 siswa, diketahui 24 siswa gemar bermain tenis, 23 siswa
gemar bermain sepak bola, dan 11 siswa gemar kedua-duanya. Gambarlah diagram
venn dari keterangan tersebut,kemudian tentukan banyaknya siswa.
a.
Yang hanya gemar bermaun
tenis
b.Yang hanya
gemar bemain sepak bola;
c.Yang tidak
gemar kedua-duanya.
Penyelesaian:
|
|
Diagram venn-nya seperti
seperti ditunjukan pada gambar ۵
Gbr. ۵ Diagram venn penyelesaian masalah dengan
konsep himpunan.
a.
banyak siswa yang hanya
gemar tenis
=24-11=13 siswa
b.
yang hanya gemar bermain
sepak bola
=23-11=12 siswa
c.
banyak siswa yang tidak
gemar kedua-duanya
=40-13-11-12
=4 siswa.
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan
1.
Himpunan adalah kumpulan
benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui
objek yang termasuk dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
2.
Himpunan juga terbagi atas beberapa bagian
yaitu; himpunan kosong (empty set),himpunan bagian (subset), himpunan yang sama
, himpunan yang ekivalen, himpunan saling lepas, himpunan kuasa(power set),
himpunan terhingga, dan himpunan tak hingga.
3.
Dalam suatu himpunan
terdapat operasi-operasi antara lain yaitu; union (gabungan), irisan
(intersection), selisih (difference), komplemen (complement), beda setangkup
(symmetric difference), dan perkalian kartesian (cartesian product).
4. Dalam
suatu himpuan terdapat Prinsip Dualitas yang mana Prinsip dualitas mengemukakan bahwa dua
konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang
benar.
5.
Dalam suatu himpunan juga terdapat multi set dan
fuzzy set Sehingga
dapat mengetahui perbedaan di antara keduanya, yang mana multi set merupakan himpunan yang unsurnya boleh berulang atau tidak harus
berbeda /himpunan ganda, Sedangkan pada fuzzy set dimisalkan, U merupakan himpunan semesta
pembicaraan (Universal Set). Crisp Set
merupakan himpunan bagian dari U yang membedakan antara anggota dan bukan anggotanya dengan
batasan yang jelas (pasti) itulah yang disebut fuzzy set.
6.
Contoh
penerapan himpunan matematika sangat banyak dalam kehidupan sehar–hari
diantaranya untuk menghitung survey seperti contoh diatas.
B.
Saran
Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi
matematika untuk kehidupan sehari-hari,
baik dalam bidang ekonomi, pendidikan dan dalam berbagai disiplin ilmu yang
lainya. Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih serius dalam
mempelajari matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang
menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang
tidak terpisahkan dalam kehidupan kita.
UCAPAN TERIMA KASIH
Terima kasih
disampaikan kepada bapak Haris sebagai dosen pembimbing saya yang telah
meluangakan waktunya dalam membimbing saya
dalam menyusun makalah ilmiah ini sehingga makalah ilmiah ini dapat
tersusun dan dapat dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari.
Dan tidak lupa pula terima kasih disampaikan kepada
teman-teman saya yang telah
berpartisipasi dalam membantu menyusun makalah ilmiah ini.
REFERENSI
http://www.google.com/gwt/x?hl=http://susi-deswati.blogspot.com2012/12/makalah-matematika
himpunan,diakses tgl 25 mei 2013.
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196612131992031-CECE_KUSTIAWAN/Himpunan.pdf , diakses tgl 26 mei 2013.
http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29 , diakses tgl 26 mei 2013.
http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0358%20Mat%201-1d.htm,
diakses tgl 26 mei 2013
Nuharini Dewi dan Tri Wahyuni,2008,Matematika 1 konsep dan aplikasi nya untuk kelas VII SMP dan MTS,
cv.karya utama
,Surabaya.
Langganan:
Postingan (Atom)